Výpočet průhybu nosníku – dřevěný a kovový, vzorce

Pružné prvky se počítají podle první skupiny mezních stavů, kdy se kontroluje jejich pevnost a stabilita, a podle druhé skupiny mezních stavů, kdy se kontroluje jejich tuhost (průhyb). Výpočty pevnosti a stability jsou založeny na návrhovém zatížení a výpočty pro průhyb jsou založeny na standardních zatíženích.

Pevnost ohybových prvků se kontroluje normálovým tečným a redukovaným napětím. Pokud se nosník ohne v jedné z hlavních rovin (obrázek dole, vlevo) v mezích pružnosti, pak se v řezech nosníku získá trojúhelníkový diagram normálových napětí (obrázek dole vpravo).

Ohýbání paprsků

a – návrhový diagram a diagramy momentů a příčných sil; b— průřez a diagramy normálových a smykových napětí

Maximální hodnota těchto napětí v nejvzdálenějších vláknech

kde M je vypočtený ohybový moment; W_nmin — nejmenší hodnota momentu odporu s přihlédnutím k oslabení.

Tangenciální napětí v ohybových prvcích se posuzují v místech největší boční síly Q podle vzorce

kde Q je návrhová smyková síla; S_x — statický moment smykové části průřezu vzhledem k neutrální ose; J_x — moment setrvačnosti (hrubý) celého průřezu nosníku; t_ω — tloušťka prvku v místě, kde se kontrolují smyková napětí (obvykle tloušťka stěny podél neutrální vrstvy); R_s ≈ 0,58 R_y — návrhová pevnost oceli ve smyku.

Při zeslabování stojiny nosníku otvory pro šrouby by se hodnoty τ ve vzorci níže měly vynásobit koeficientem:

Zde a je rozteč jamek; d je průměr otvorů.

Pro stěny nosníků vypočtené podle výše uvedeného vzorce se provede posudek pomocí daných napětí, přičemž se bere v úvahu kombinované působení normálových a tečných napětí. U kovových konstrukcí se tato kontrola provádí podle energetické teorie pevnosti.

kde σ_х =M/J _nx · y – normální napětí ve střední rovině stěny, rovnoběžné s osou nosníku; σ_y. – stejné, kolmé k ose nosníku, včetně σ_loc, určeno vzorcem uvedeným výše;

τ = Q/t_ωh je průměrné smykové napětí zohledňující koeficient oslabení α (zde t = t_ω a h = h_ω) – tloušťka stěny a výška).

Obecná stabilita ohybových prvků se posuzuje pomocí první skupiny mezních stavů.

Vlivem zatížení umístěného v rovině jedné z hlavních os setrvačnosti průřezu se nosník ohýbá v této rovině pouze do té doby, než zatížení dosáhne určité kritické hodnoty. Poté paprsek opustí rovinu ohybu a začne se kroutit. Tento jev se nazývá ztráta celkové stability nosníku a odpovídající ohybový moment se nazývá kritický moment. Forma ztráty celkové stability nosníku se nazývá ohybově torzní (obrázek níže). V pásech nosníku, který ztratil stabilitu, dochází k plastickým deformacím a při zatížení mírně převyšujícím kritickou hodnotu rychle ztrácí svou nosnost.

Ztráta celkové stability konzolového I-nosníku (a) a vliv místa působení zatížení (b)

Kontrola celkové stability spočívá v porovnání napětí, která vznikají s kritickými: σ=M/W< σ_сr Kritická napětí souvisí s návrhovou odolností materiálu prostřednictvím součinitele (tzv. „fi-nosník“), v jehož důsledku má vzorec pro kontrolu celkové stability ohybového prvku tvar:

kde φ_b — faktor snížení únosnosti.

U prvků, které jsou ohnuty ve dvou rovinách, se pevnost kontroluje pomocí vzorce:

kde x a y jsou souřadnice uvažovaného bodu řezu vzhledem k hlavním osám.

V tomto případě by měly být hodnoty napětí ve stěně nosníku zkontrolovány pomocí výše uvedených vzorců ve dvou rovinách ohybu.

Výpočet v podpěrném úseku nosníků (při M = 0; M_х = 0; M_y= 0) by mělo být provedeno podle závislosti:

Výpočet ocelových ohybových prvků pro druhou skupinu mezních stavů se redukuje především na kontrolu podmínky:

kde f je skutečná deformace určená působením standardních zatížení podle pravidel pevnosti materiálů bez zohlednění oslabení otvorem pro šrouby a bez zohlednění dynamického součinitele; l = l_ef— konstrukční rozpětí ohýbaného prvku; F_u/l je maximální přípustný relativní průhyb akceptovaný pro průmyslové a občanské stavby.

Průhyb nosníků od standardního zatížení se určuje pomocí vzorců stavební mechaniky, přičemž se zanedbává oslabení dírami pro šrouby.

Pokud je nosník vystaven ohybu ve dvou hlavních rovinách (šikmý ohyb), pak jeho pevnost

Proces navrhování moderních budov a konstrukcí je regulován velkým množstvím různých stavebních předpisů a předpisů. Ve většině případů normy vyžadují zajištění určitých charakteristik, například deformace nebo průhyb nosníků stropních desek při statickém nebo dynamickém zatížení. Například SNiP č. 2.09.03-85 určuje pro podpěry a přejezdy, že průhyb nosníku není větší než 1/150 délky rozpětí. U podkrovních podlah je toto číslo již 1/200 au mezipodlažních trámů je to ještě méně – 1/250. Proto je jednou z povinných fází návrhu provedení výpočtu průhybu nosníku.

Způsoby provádění výpočtů a zkoušek průhybu

Důvod, proč SNiP zavádějí taková drakonická omezení, je jednoduchý a zřejmý. Čím menší je deformace, tím větší je rezerva pevnosti a pružnosti konstrukce. Při průhybu menším než 0,5 % si nosný prvek, nosník nebo deska stále zachovává elastické vlastnosti, což zaručuje normální přerozdělení sil a zachování celistvosti celé konstrukce. S narůstajícím průhybem se stavební rám ohýbá, vzdoruje, ale při překročení povolené hodnoty se lámou vazby a konstrukce ztrácí tuhost a únosnost jako lavina.

Existuje několik způsobů, jak vypočítat průhyb konstrukce:

• Použijte online softwarovou kalkulačku, ve které jsou „pevně nastaveny“ standardní podmínky a nic víc;
• Použijte hotová referenční data pro různé typy a typy nosníků, pro různé podpory zatěžovacích vzorů. Je pouze nutné správně identifikovat typ a velikost nosníku a určit požadovaný průhyb;
• Spočítejte si přípustný průhyb rukama a hlavou, většina projektantů to dělá, zatímco kontrolní architekti a stavební inspektoři preferují druhý způsob výpočtu.

Pro vaši informaci! Abychom skutečně pochopili, proč je tak důležité znát velikost odchylky od výchozí polohy, stojí za to pochopit, že měření velikosti vychýlení je jediným dostupným a spolehlivým způsobem, jak v praxi zjistit stav paprsku.

Změřením toho, jak moc se stropní trám propadl, můžete s 99% jistotou určit, zda je konstrukce v havarijním stavu či nikoliv.

Způsob provádění výpočtů průhybu

Před zahájením výpočtu si budete muset zapamatovat některé závislosti z teorie pevnosti materiálů a sestavit výpočtový diagram. V závislosti na tom, jak správně je diagram proveden a zohledněny podmínky zatížení, bude záviset přesnost a správnost výpočtu.

Použijeme nejjednodušší model zatíženého nosníku znázorněný na obrázku. Nejjednodušší obdobou trámu může být dřevěné pravítko, foto.

V našem případě paprsek:

1. Má obdélníkový průřez S=b*h, délka nosné části je L;
2. Pravítko je zatíženo silou Q procházející těžištěm ohýbané roviny, v důsledku čehož se konce otáčejí o malý úhel θ, s výchylkou vůči výchozí vodorovné poloze., rovná se f;
3. Konce paprsku spočívají otočně a volně na pevných podpěrách, není zde tedy žádná horizontální složka reakce a konce pravítka se mohou pohybovat v libovolném směru.

Pro určení deformace tělesa při zatížení použijte vzorec modulu pružnosti, který je určen poměrem E=R/Δ, kde E je referenční hodnota, R je síla, Δ je velikost deformace tělesa .

Vypočítejte momenty setrvačnosti a síly

Pro náš případ bude závislost vypadat takto: Δ = Q/(S E) . Pro zatížení q rozložené podél nosníku bude vzorec vypadat takto: Δ = q h/(S E) .

To, co následuje, je nejdůležitější. Výše uvedený Youngův diagram ukazuje vychýlení paprsku nebo deformaci pravítka, jako by bylo rozdrceno silným lisem. V našem případě je paprsek ohnutý, to znamená, že na koncích pravítka vzhledem k těžišti působí dva ohybové momenty s různými znaménky. Zatěžovací diagram pro takový nosník je uveden níže.

Pro transformaci Youngovy závislosti pro ohybový moment je nutné vynásobit obě strany rovnosti ramenem L. Získáme Δ*L = Q·L/(b·h·E) .

Pokud si představíme, že jedna z podpor je pevně fixována a na druhou bude působit ekvivalentní vyrovnávací moment sil M_max = q*L*2/8, podle toho bude velikost deformace nosníku vyjádřena závislostí Δx = M x/((h/3) b (h/2) E) . Veličina b h 2 /6 se nazývá moment setrvačnosti a označuje se W. Výsledkem je Δx = M x / (W E) základní vzorec pro výpočet nosníku pro ohyb W = M / E momentem setrvačnosti a ohybovým momentem.

Pro přesný výpočet průhybu budete potřebovat znát ohybový moment a moment setrvačnosti. Hodnotu první lze vypočítat, ale konkrétní vzorec pro výpočet nosníku pro průhyb bude záviset na podmínkách kontaktu s podpěrami, na kterých je nosník umístěn, a na způsobu zatížení pro rozložené nebo soustředěné zatížení. Ohybový moment z rozloženého zatížení se vypočítá pomocí vzorce Mmax = q*L 2 /8. Uvedené vzorce platí pouze pro rozložené zatížení. Pro případ, kdy je tlak na nosník soustředěn v určitém bodě a často se neshoduje s osou symetrie, je třeba vzorec pro výpočet průhybu odvodit pomocí integrálního počtu.

Moment setrvačnosti lze považovat za ekvivalent odolnosti nosníku vůči ohybovému zatížení. Velikost momentu setrvačnosti pro jednoduchý obdélníkový nosník lze vypočítat pomocí jednoduchého vzorce W=b*h 3 /12, kde b a h jsou rozměry průřezu nosníku.

Ze vzorce je zřejmé, že stejné pravítko nebo deska obdélníkového průřezu může mít zcela jiný moment setrvačnosti a hodnotu průhybu, pokud je umístěna na podpěry tradičním způsobem nebo umístěna na hranu. Ne nadarmo se téměř všechny prvky systému střešních vazníků nevyrábí ze dřeva 100×150, ale z desek 50×150.

Reálné části stavebních konstrukcí mohou mít různé profily, od čtvercových, kruhových až po složité tvary I-paprsků nebo kanálů. Přitom určení momentu setrvačnosti a velikosti výchylky ručně, „na papíře“, se pro takové případy stává pro neprofesionálního stavitele netriviální záležitostí.

Vzorce pro praktické použití

V praxi je nejčastěji inverzní úlohou stanovení součinitele bezpečnosti podlah nebo stěn pro konkrétní případ na základě známé hodnoty průhybu. Ve stavebnictví je velmi obtížné posoudit bezpečnostní faktor jinými, nedestruktivními metodami. Často je na základě velikosti průhybu nutné provést výpočet, vyhodnotit bezpečnostní faktor objektu a celkový stav nosných konstrukcí. Navíc se na základě provedených měření určí, zda je deformace podle výpočtu přijatelná, nebo zda je budova v havarijním stavu.

Poraďte! V otázce výpočtu mezního stavu nosníku na základě velikosti průhybu poskytují požadavky SNiP neocenitelnou službu. Nastavením meze průhybu v relativní hodnotě, například 1/250, stavební předpisy značně usnadňují určení havarijního stavu nosníku nebo desky.

Pokud například hodláte koupit hotovou stavbu, která stála poměrně dlouho na problematické půdě, bylo by užitečné zkontrolovat stav stropu na základě stávajícího průhybu. Znáte-li maximální přípustnou míru průhybu a délku nosníku, můžete bez jakéhokoli výpočtu posoudit, jak kritický je stav konstrukce.

Stavební kontrola při posuzování průhybu a posuzování únosnosti podlahy jde složitější cestou:

• Nejprve se změří geometrie desky nebo nosníku a zaznamená se hodnota průhybu;
• Na základě naměřených parametrů je určen sortiment nosníku, poté je z referenční knihy vybrán vzorec pro moment setrvačnosti;
• Moment síly je určen průhybem a momentem setrvačnosti, po kterém můžete se znalostí materiálu vypočítat skutečná napětí v kovovém, betonovém nebo dřevěném nosníku.

Otázkou je, proč je to tak obtížné, když lze průhyb získat pomocí vzorce pro výpočet pro jednoduchý nosník na kloubových podporách f=5/24*R*L 2 /(E*h) při rozložené síle. Stačí znát délku rozpětí L, výšku profilu, návrhovou odolnost R a modul pružnosti E pro konkrétní podlahový materiál.

Odpověď je jednoduchá – není snadné spočítat, ale také udržet na papíře průběh ověřovacího výpočtu, aby bylo možné závěry o stavu stropu zkontrolovat a dvakrát zkontrolovat ve všech fázích ověřování.

Poraďte! Využijte ve svých výpočtech stávající resortní sbírky různých projekčních organizací, které obsahují všechny potřebné vzorce pro stanovení a výpočet maximálního zatíženého stavu ve zhuštěné podobě.

Závěr

Většina developerů a projektantů vážných staveb jedná podobně. Program je dobrý, pomáhá velmi rychle vypočítat průhyb a základní parametry zatížení podlahy, ale je také důležité poskytnout zákazníkovi dokumentární doklady o získaných výsledcích v podobě konkrétních sekvenčních výpočtů na papíře.